Sistem persamaan linear dua variabel

 Najwa keisya vega

X MIPA 1

 Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Agustus 19, 2021

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Definisi dan Bentuk Umum

Sistem persamaan linear dua variabel (peubah) atau disingkat SPLDV adalah suatu persamaan matematika yang terdiri atas dua persamaan linear yang masing-masing bervariabel dua (misal x dan y). Dengan demikian, bentuk umum dari Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dalam x dan y dapat kita tuliskan sebagai berikut.

ax + by = c

atau

a1x + b1y = c1

px + qy = r

a2x + b2y = c2

Metode Penyelesaian SPLDV

1. Metode Grafik

Cara yang paling mudah untuk menggambar grafik adalah dengan mencari titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y

Contoh:

1. Gambarkan grafik untuk persamaan 2x + y = 4.

Penyelesaian:

Untuk menggambarkan grafik SPLDV, gunakan paling sedikit dua titik seperti pada tabel berikut.

Tentukan nilai y untuk x = 0.

2x + y = 4

⇔2( 0) + y = 4

⇔y = 4

Tentukan nilai x untuk y = 0.

2x + y = 4

⇔ 2x + 0 = 4

⇔ 2x = 4

⇔ x = 2

Tuliskan hasil yang diperoleh ke dalam tabel.

Ini berarti, titik yang diperoleh adalah A (0, 4) dan B (2, 0).

Gambarkan titik tersebut ke dalam diagram Cartesius, kemudian hubungkan dengan sebuah garis lurus, sehingga terbentuk gambar di bawah ini.

2. Tentukan penyeselesaian dari SPLDV:

2x + y = 6

2x + 4y = 12

Penyelesaian:

Langkah 1: gambarkan grafik untuk persamaan pertama.

Gunakan paling sedikit dua titik seperti pada tabel berikut.

Tentukan nilai y untuk x = 0.

2x + y = 6

⇔ 2(0) + y = 6

⇔ y = 6

Tentukan nilai x untuk y = 0.

2x + y = 6

⇔2x + 0 = 6

⇔2x = 6

⇔x = 3

Tuliskan hasil yang diperoleh ke dalam tabel.

Ini berarti, titik yang diperoleh adalah A (0, 6) dan B (3, 0).

Gambarkan titik tersebut ke dalam diagram Cartesius, kemudian hubungkan dengan sebuah garis lurus, sehingga terbentuk gambar di bawah ini.

2. Metode Eliminasi

Metode ini bertujuan untuk mengeliminasi salah satu variabel untuk mengetahui nilai variabel lainnya.

Contoh:

1. Tentukanlah himpunan penyelesaian (HP) dari sistem persamaan 2x+y=7 dan x−y=8 dengan metode eliminasi!

Pembahasan:

2x+y=7 . . . . (1)

x−y=8 . . . . (2)

Eliminasi suku variabel x: samakan koefisien x dengan mengalikan persamaan (1) dengan 1 dan dengan mengalikan persamaan 2 dengan 2, kemudian kurangkan.

2x+y=7x−y=8 |×1×2 |

   2x+y=72x−2y=16 −_

3y=−9

y=−3

Eliminasi suku variabel y: koefisien y pada persamaan (1) dan (2) hanya berbeda tanda, tidak perlu disamakan. Cukup hanya dengan menjumlahkan kedua persamaan.

   2x+y=7x−y=8 +_

3x=15

x=5

HP={(5,−3)}

3. Metode Subtitusi

Metode substitusi bertujuan untuk mengganti nilai suatu variabel di suatu persamaan dari persamaan lainnya.

Contoh:

1. Tentukanlah himpunan penyelesaian (HP) dari sistem persamaan x=2 dan 3x+2y=12 dengan metode substitusi!

Pembahasan:

Nilai dari x sudah diketahui, tinggal memasukkan nilai x=2 ke dalam persamaan 3x+2y=12.

3x+2y=12

3.2+2y=12

6+2y=12

2y=12−6

2y=6

y=3

HP={(2,3)}

4. Metode Gabungan

Metode ini merupakan gabungan dari metode eliminasi dan substitusi. Caranya, kamu dapat menggunakan metode eliminasi untuk mencari nilai x terlebih dahulu, kemudian ganti variabel x dengan nilai x yang sudah diperoleh dengan menggunakan metode substitusi untuk memperoleh nilai y.

Contoh:

1. Diketahui persamaan x + 3y = 15 dan 3x + 6y = 30, dengan menggunakan metode campuran tentukanlah Himpunan penyelesaiannya !

Penyelesaian :

Diketahui :

Persamaan 1 = x + 3y = 15

Persamaan 2 = 3x + 6y = 30

Langkah Pertama Menggunakan Metode Eliminasi :

x + 3y = 15 | x3| <=> 3x +9x = 45

3x + 6y = 30 | x1| <=> 3x + 6y = 30 _

                                            0 + 3y = 15

                                              y = 5

Langkah Kedua Menggunakan Metode Substusi :

x + 3y = 15

x + 3.5 = 15

x + 15 = 15

x = 0

Jadi himpunan penyelesaian dari soal diatas adalah HP ={ 0 , 5 }

Contoh Soal Cerita:

1. Dalam sebuah konser musik, terjual karcis kelas I dan kelas II sebanyak 500 lembar. Harga karcis kelas I adalah Rp 8.000,00, sedangkan harga karcis kelas II adalah Rp 6.000,00. Jika hasil penjualan seluruh karcis adalah Rp 3.250.000,00, tentukan banyak karcis masing-masing kelas I dan kelas II yang terjual.

Pembahasan: 

Langkah pertama adalah mengubah kalimat-kalimat pada soal cerita di atas menjadi model matematika, sehingga membentuk sistem persamaan linear.

Pers 1

Pers 2

Sehingga diperoleh SPLDV sebagai berikut.

SPLDV

Langkah kedua, kita cari koordinat dua titik yang dilewati oleh grafik masing-masing persamaan tersebut. Biasanya, dua titik yang dipilih tersebut merupakan titik potong grafik persamaan-persamaan tersebut dengan sumbu-x dan sumbu-y.

Titik Potong Sumbu

Sehingga grafik persamaan x + y = 500 memotong sumbu-x di (500, 0) dan memotong sumbu-y di (0, 500).

Titik Potong Sumbu 2

Sedangkan grafik 8.000x + 6.000y = 3.250.000 memotong sumbu-x di (406 1/4, 0) dan memotong sumbu-y di (0, 541 2/3).

Langkah ketiga, kita gambarkan grafik persamaan-persamaan tersebut pada koordinat Cartesius. Grafik persamaan-persamaan di atas dapat dilukis dengan memplot titik-titik yang telah kita cari pada koordinat Cartesius kemudian hubungkan titik (500, 0) dan (0, 500) untuk mendapatkan grafik x + y = 500, serta titik (406 1/4, 0) dan (0, 541 2/3) untuk mendapatkan grafik 8.000x + 6.000y = 3.250.000.

Metode Grafik

2. Asep membeli 2 kg mangga dan 1 kg apel dan ia harus membayar Rp15.000,00, sedangkan Intan membeli 1 kg mangga dan 2 kg apel dengan harga Rp18.000,00. Berapakah harga 5 kg mangga dan 3 kg apel?

Penyelesaian :

Misalkan : harga 1 kg mangga = x                     

                     harga 1 kg apel = y

metode eliminasi 

2x + y = 15.000 |×2| 4x + 2y = 30.000

x + 2y = 18.000 |×1| x + 2y = 18.000

                                  ------------------------ --

                                     3x = 12.000

                                           x = 12.000 / 3

                                            x = 4.000

2x + y = 15.000 |×1| 2x + y = 15.000

x + 2y = 18.000 |×2| 2x + 4y = 36.000

                                  ------------------------ --

                                           -3y = -21.000

                                             y = -21.000 / -3

                                             y = 7.000

5x + 3y = 5 (4000) + 3 (7000)

            = 20.000 + 21.000

            = 41.000

Jadi, harga 5 kg mangga dan 3 kg apel adalah Rp 41.000

3. Beni, Udin, dan Citra pergi ke toko buku “Cerdas”. Beni membeli 4 buku tulis dan 3 pensil dengan harga Rp 12.500,00 dan Udin membeli 2 buku tulis dan sebuah pensil dengan harga Rp 5.500,00 pada toko yang sama. Tentukan harga yang harus dibayar Citra jika ia membeli 6 buku tulis dan 2 pensil!

Penyelesaian:

Misalkan harga buku = x dan harga pensil = y.

Belajaan Beni akan memenuhi persamaan:

4x + 3y = 12500

Belajaan Udin akan memenuhi persamaan:

2x + y = 5500

 

Diperoleh SPLDV yakni: di

4x + 3y = 12500 . . . . pers (1)

2x + y = 5500 . . . . pers (2)

 

Adapun metode yang akan dipilih dalam menyelesaikan SPLTV yakni metode subtitusi.

Langkah I

Ubah persamaan 2 yakni:

2x + y = 5500

y = 5500 – 2x . . . . pers (3)

 

Langkah II

Subtitusi persamaan 3 ke persamaan 1, maka:

4x + 3y = 12500

4x + 3(5500 – 2x) = 12500

4x + 16500 – 6x = 12500

– 2x = – 4000

x = 2000

Langkah III

Substitusi nilai x ke persamaan 3, maka:

y = 5500 – 2x

y = 5500 – 2(2000)

y = 5500 – 4000

y = 1500

Jadi harga sebuah buku tulis Rp 2000,00 dan harga sebuah pensil Rp 1500,00.

 

Langkah IV

Harga yang harus dibayar Citra yakni:

Harga = 6x + 2y

Harga = 6(2000) + 2(1500)

Harga = 12000 + 3000

Harga = 15000

Jadi, harga total yang harus dibayar Citra adalah Rp 15.000,00

4. Tarif tiket masuk ke tempat wisata pantai Pandawa di Bali untuk 2 orang dewasa dan tiga orang anak-anak adalah Rp 28.000,00 dan untuk 3 orang dewasa dan empat orang anak-anak adalah Rp 40.000,00. Jika sepasang suami istri dan dua orang anaknya akan berpergian ke tempat wisata pantai Pandawa, berapakah total harga tiket yang harus mereka bayar?

Penyelesaian:

Misalkan tarif tiket masuk untuk dewasa = x dan untuk anak-anak = y, maka memenuhi persamaan SPLDV yakni:

2x + 3y = 28000 . . . pers (1)

3x + 4y = 40000 . . . pers (2)

2x + 2y = . . . ?

 Adapun metode yang akan dipilih dalam menyelesaikan SPLTV ini bisa menggunakan metode campuran (gabungan metode eliminasi dengan metode subtitusi).

Langkah I

Eliminasi x dengan menyamakan koefesien x pada persamaan 1 dan 2 terlebih dahulu, maka:

2x + 3y = 28000 x3

3x + 4y = 40000 x2

6x + 9y = 84000

6x + 8y = 80000

--------------------- -

         y = 4000

 Langkah II

Subtitusi nilai y ke persamaan 1, yakni:

2x + 3y = 28000

2x + 3(4000) = 28000

2x + 12000 = 28000

2x = 16000

x = 8000

Jadi harga tiket masuk untuk dewasa adalah Rp 8.000,00 dan untuk anak-anak adalah Rp 4.000,00

 Langkah III

Bayar = 2x + 2y

Bayar = 2(8000) + 2(4000)

Bayar = 16000 + 8000

Bayar = 24000

Jadi, total harga tiket yang harus mereka bayar adalah Rp 24.000,00